Даны два рисунка: исходный (левый) из условия задачи и подготовленный для решения задачи (правый), которым мы будем в дальнейшем пользоваться.
Работа, совершаемая газом на каждом участке цикла, численно равна площади трапеции, заключенной между графиком процесса, осью V, и двумя перпендикулярами, опущенными из начальной и конечной точек процесса на ось V. Работа, совершаемая газом, положительна, если газ в соответствующем процессе (1⟼2, например) расширялся. Работа, совершаемая газом, отрицательна, если газ в соответствующем процессе (3⟼1, например) сжимался. Два последних утверждения легко доказываются в общем виде. Работа, совершаемая газом за весь цикл, численно равна площади фигуры (в нашем случае это треугольник 1,2,3), ограниченной графиками процессов, составляющих цикл.
Работа А1⟼2 , совершаемая газом на участке цикла (1⟼2) равна
Работа А3⟼1, совершаемая газом на участке цикла (3⟼1) равна
При вычислении работ А1⟼2 и А3⟼1 была применена хорошо известная формула для вычисления площади трапеции: площадь трапеции равна произведению полусуммыоснований трапеции на высоту трапеции.
Работа А2⟼3, совершаемая газом на участке цикла (2⟼3) равна нулю (изохорический процесс).
Таким образом, работа, совершаемая газом за весь цикл, равна
Раскрывая в последнем выражении скобки, и, применяя (где это уже можно) уравнение Клапейрона-Менделеева (для данного моля газа)
преобразуем выражение для работы, совершаемой газом за весь цикл
Из рисунка можно получить дополнительные соотношения между термодинамическими величинами в точках цикла 1,2,3. Из двух подобных прямоугольных треугольников, вершины которых «обозначены точками» (0,2,V3(2)) и (0,1,V1) можно получить
Так, как точки 1 и 3 лежат (по условию) на одной изотерме (она из-за ненадобности не нарисована на рисунке), можно записать
Из выражений (6) и (7) следует
или, что то же самое,
Из изохоры (2⟼3) получаем
или, что то же самое,
Выражение (10) с учетом выражения (8) можно преобразовать
Отсюда получаем
После подстановки выражений (11) в выражение (5) и, после простых преобразований, получаем окончательное выражение для работы, совершаемой газом за весь цикл
Итого: